サスペンスドラマ

論理学 真理関数理論

論理学とは

私たちはある話を聞いた時、直感で正しいか間違っているかを判断することができます。
その判断基準について調べてみると、どうやら正しい話には決まった型があるということが明らかになりました。

 

論理学とは、このような正しい推論の構造について研究した学問です。
文を記号化する方法、推論規則など覚えることは多いですが、代表的理論である「真理関数理論」と「量化理論」について簡単にまとめましたので、お役立て下さい。

文を命題とみなす方法

文は正しいか正しくないかという観点から2つに分けられます。
これを真理値といい、正しければ「真」、間違っていれば「偽」という真理値を持ちます。

 

このようにして文を命題とみなすことができます。

 

この真理値の組み合わせにより、結論の真理値も変化します。

 

例えば、

 

前提1・・・私は野球が好きだ

 

前提2・・・私はサッカーが好きだ

 

結論・・・私は野球もサッカーも好きだ

 

このような推論があったとします。
前提1と2が両方とも正しければ結論が言えます。

 

前提1:真

 

前提2:真

 

結論:真

 

 

しかし、前提のうち片方でも間違っていれば結論を引き出すことができません。

 

前提1:真

 

前提2:偽

 

結論:偽

 

このように前提のとる値が変われば、それによって結論のとる値も変わります。
結論は前提の関数とみなすことができるのです。

 

実際に推論する際は、文にアルファベットの文字を充て、さらに以下の特殊記号を用います。

 

否定・・・「〜でない」¬

 

連言・・・「かつ」∧

 

選言・・・「または」V

 

条件法…「ならば」→

 

 

記号の充て方について練習しておきましょう。

 

「私は野球が好きだ」という文を「P」とすると、「私は野球が好きでない」という文は「¬P」となります。

 

また、「私はサッカーが好きだ」という文を「Q」とすると、「私はサッカーが好きでない」という文は「¬Q」となります。

 

そして結論の「私は野球もサッカーも好きだ」という文は、「私は野球が好きで、かつサッカーも好きだ」と変換することで、「P?Q」と置けることが分かります。

 

 

次に、記号の真理値はどうなるか見ていきましょう。真を1、偽を0で表記します。

 

 

・否定

P Q

 

 

Pが真であるならPの否定は反対に偽であり、Pが偽ならPの否定は真理値がひっくり返って真ということになります。

 

・連言

P Q P∧Q

 

PとQの真理値のすべての組み合わせを書きます。
連言は「かつ」という言葉の意味通り、両方真の場合のみ全体として真になります。

 

・選言

P Q PVQ

 

 

選言の場合は「または」という言葉の指す通り、どちらか一方が真であれば全体として真になります。

 

 

・条件法

 

P Q P→Q

 

矢印の前を前件、後ろを後件といいます。条件法で特殊なこととしては、前件が偽だった場合、後件が何であっても真とするというルールがあります。

 

これについて、「明日晴れたら、動物園に行こう」という例文で考えてみましょう。「明日晴れる」にP、「動物園に行く」をQと置くと、この例文は「P→Q」と記号化できます。

 

この真理値は上に書いた通りですが、前件が偽と言うのは、「そもそも晴れなかった」らの話です。晴れなかった場合、動物園に行こうが家に居ようが勝手です。

 

つまり条件法では、前件の条件下以外では、偽とすることはできないために真と扱うのです。

真理関数理論と正しい推論

それでは実際に、これらの論理式を推論で使用していきたいと思います。

前提1:図形Aが三角形であれば、図形Aの内角の和は180°である。
結論:図形Aの内角の我が180°でないならば、図形Aは三角形ではない

前件(ならばの前)をP、後件(ならばの後ろ)をQと置くと、前提文はP→Qと表せます。
結論は数学の対偶を取っているので、¬Q→¬Pと表せます。

元の命題が真であれば、対偶も真であることが知られているので、前提と結論を条件法にして、(P→Q)→(¬Q→¬P)は正しい推論となるはずです。
このような真理値分析にかけられる式を推論式と呼びます。

真理値分析を行ってみると、
P Q P→Q ¬Q ¬P ¬Q→¬P (P→Q)→(¬Q→¬P)

この通り、前提(P→Q)が真であれば結論(¬Q→¬P)も必ず真になります。
その結果、与式はP・Qの真理値にかかわらず、常に真となります。
これを恒真といいます。

つまり、正しい推論というのは、推論式が恒真になるような推論です。
恒真になるパターンをいくつか紹介します。

・含意
含意というのは、前提の内容が結論の内容を含んでいることです。前提の中に結論があるので、前提を真と認めた場合、必ず正しい推論となります。例えば、「私は男である」という前提から、前提の対偶「私は女ではない」を結論として導けるかどうjか見てみます。推論式は前提と結論の条件法なので、条件法のルールを適用します。

条件法では前提が真なら後件も真、前提が偽でも後件は真となるので、推論式は必ず恒真になり、正しい推論であることが分かります。


・等値
等値とは、前提が結論を含意するだけでなく、結論が前提を含意する、両方向性をもった含意です。これは前提と結論が同じことを表現していないと不可能で、数学の「=(イコール)」と同意義です。

等値を表現する場合、論理学では双条件法「⇔」を用い、推論式は恒真となります。


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