サスペンスドラマ

論理学 量化理論

真理関数理論の限界

量化理論は、真理関数理論の不完全さを補うべく拡張した推論です。まずは、真理関数理論の不完全さについて説明するので、次の推論を見てください。

 

前提@:男はみな数学を好む

 

前提A:私は男である

 

結論:私は数学を好む

 

推論式(前提の連言と結論の条件法)は、「P∧Q→R」となり、真理値分析にかけます。

 

P Q R P∧Q P∧Q→R

 

右列の上から2つ目が偽となっているので、恒真ではありません。そのため真理関数理論では、正しい推論ということはできません。

 

しかし、直観的に考えれば、100%正しい推論であることも事実です。ここに真理関数理論の限界が見えてきます。

 

そこで、なぜ私たちがこの推論を正しいと信じるかについて調べるために、一度推論構造を分析してみると、

 

「すべての男は数学が好き」なので、「すべての男の中から任意に選ばれた私は、当然数学が好きなはずある」という構造になっています。つまり、この推論では「すべての」や「任意の」といった「量の概念」が重要な役割を果たしていることが分かります。

 

ただ、文に記号をあてるという真理関数的な方法では、この数量関係を表すことができません。そのために、上述の矛盾が起こってしまったのです。

 

そこで、新しい理論の必要性が出てきます。それが「量化理論」です。

 

述語理論と呼ばれる理由

量化理論のポイントは次の2つです。

 

@主語と述語の記号化

 

A量化子に関する推論規則

 

量化理論では真理関数理論の反省を活かし、文にそのまま記号を充てるといったことはしません。前提文に現れる共通要素を表現するため、主語と述語に別々の記号を充てます。

 

例えば、「私は男である」という文では、「私は」が主語で「男である」が述語です。そこで、主語に「a」、述語に「F」という記号を充てると、この文はF(a)と表せます。

 

また、「男はみな数学を好む」では、「男は」が主語、「数学を好む」が述語なので、主語に「x」、述語に「G」という記号を充てると、この文はG(x)と表せます。

 

ここで、「みな」という概念を記号化できていないため、量の概念を表す記号「量化子」を導入します。

 

少しまどろっこしいですが、「男はみな数学が好きである」という文は、「どんなものxに対しても、xが男であるならば、xは数学が好きである」と言い換え可能です。そのため、「どんなものxに対しても、F(x)→G(x)」と表現できます。

 

この「どんなものxに対しても」に対して、「ALL」の「A」を逆さまにした記号「∀」を用いて、「∀x」と表現します。したがって最終的にが、「∀x(F(x)→G(x))」となります。

 

同じように結論「私は、数学を好む」という文は、主語と述語が既に記号化されているため、「G(a)」となることが分かります。

 

したがって、この推論の記号化は

 

前提@:∀x(F(x)→G(x))

 

前提A:F(a)

 

結論:G(a)

 

このようになります。なお今回出てきませんでしたが、「任意の」という概念を表す量化子は「ヨ」が使われます。

量化理論の推論規則

次に、前提から結論を導くための推論規則について説明します。

 

真理関数理論で用いた条件法に加えて、新たに4つの推論規則を導入しますが、すべて私たちが日常的に行っていることに過ぎないため、丸暗記するのではなく、考え方を理解して覚えていきましょう。

 

@普遍汎化(UG)
カテゴリーに属す1つがもつ特徴は、ほかのすべてのものも共通して持っていると考えるルールです。任意に選んだものは同種のものを代表しているためです。

 

例えば、任意に選んだ三角形の内角の和を調べて、それが180°だったとします。このとき、他かの三角形の内角の和も同じで180°ではないだろうかと考えるのは自然な思考です。このような思考が普遍汎化であり、「任意性→すべて」なので、「∀」を付けると覚えておいてください。

 

A存在例化(EI)
存在しているものには名前を付けてよいというルールです。なぜ名前を付けると言うと、名前がないと表記できないからです。実際に、「先ほどの点が」というより「点Aが」と言ってあげた方が分かりやすいですよね。

 

これは数学では頻繁に行われることで、「点Aから線分BCにひいた垂線の足をHとする」という考え方が、存在例化に当てはまります。「存在保証→命名」なので、「ヨ」を取ると覚えておいてください。

 

B普遍例化(UI)
すべてのものに当てはまることは、そのカテゴリー内の特定のものに当てはまります。

 

例えば、「男はみな数学を好む」という前提が正しいとき、そこら辺を歩いている男を捕まえてきて、その人が数学を好むか考えてみましょう。その人が男である限り、当然数学を好みます。この思考が普遍例化です。「すべて→特定」なので、「∀」を取ると覚えておいてください。

 

C存在汎化(EG)
こちらは、具体的に述べられたことは、抽象的にも表現可能だという思考です。例えば、「三角形の内角の和が180°である」ということは、「三角形の内角の和は一定である」といっても決して間違いではありません。

 

また、私がメルマガで「レポートをまったく勉強しないが25名いますが、…」と書いたら、「何もそこまで具体的に言わなくても・・・」と感じることと思います。この場合、「レポートをまったく勉強しない方がいますが、…」と書いた方が適切な表現になります。

 

存在汎化とは、無意味に強調されている部分を敢えてボカし、「存在している」ことだけを表現するものです。「特定→存在」なので、「ヨ」を付けると覚えておいてください。

演繹と正しい推論

それでは、これらの記号化の方法、推論規則を用いて、量化理論における推論を行います。

 

前提…すべての馬は動物である

 

結論…馬の頭はすべて動物の頭である

 

まず、前提を次のように言い換えます。

 

「どんなものxに対しても、xが馬ならば、xは動物である」

 

このように言い換えることで、主語と述語に分けた記号化がやりやすくなります。「xは馬である」をF(x)、「xは動物である」をG(x)とすると、∀x(F(x)→G(x))となります。

 

結論は、「どんなものxに対しても、xが馬の頭ならば、xは動物の頭である」ですが、さらに言い換えて、「どんなものxに対しても、xを頭とする馬がいるならば、xを頭とする動物がいる」とします。

 

この文を「xはyの頭である」をH(x,y)を使って記号化すると、∀x(ヨyF(y)∧H(x,y))→ヨy(G(y)∧H(x,y)))となります。

 

それでは、前提から推論規則を用いて結論を導きます。

 

1 ∀x(F(x)→G(x))   
すべての馬は動物である(前提)

 

2 ヨy(F(y)∧H(u,y))   
任意の馬の頭を選び、uという名を付ける(自分で追加した前提)

 

3 F(v)∧H(u,v)  
その馬をvと名付ける(2をEI)

 

4 F(v)→G(v)     
vは動物なはずである(1をUI)

 

5 G(v)∧H(u,v)     
vは動物で、uはvの頭である(3と4より)

 

6 ヨy(G(y)∧H(u,y))
…というものがいる(5をEG)

 

7 ヨy(F(y)∧H(u,y))→ヨy(G(y)∧H(u,y))  
uが馬の頭ならば、uは動物の頭である(2と6より)

 

8 ∀x(ヨyF(y)∧H(x,y))→ヨy(G(y)∧H(x,y)))  
任意の馬の頭に言えることは、すべての馬の頭に対しても言える(7をUG)

 

このように前提から結論を導く推論を「演繹」と呼びます。そのため、量化理論における正しい推論の規定とは、推論規則を用いて、前提から結論を演繹できるかどうかとなります。

 

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